6ta Entrada

El determinante

Antes que nada y para facilitar la lectura, voy a introducir la siguiente notación que se usa para escribir instrucciones en Octave.

Octave, Scilab y Matlab son plataformas informáticas que se usan para hacer cálculos con matrices. Los invito a que experimenten un poco con alguna de ellas. Yo prefiero Octave porque es de gratuita y de código abierto. La alternativa europea a Octave es Scilab. También la recomiendo mucho.

Con la notación A=[a b; c d] denotamos al matriz que tiene como primer renglón al vector (a, b) y como segundo renglón al vector (b, c). En general usaremos la notación
                                     A=[a¹₁ a²₁ ⋯ aⁿ₁;a¹₂ a²₂ ⋯ aⁿ₂; ⋯ ;a¹ₘ a²ₘ ⋯ aⁿₘ]
para la matriz de tamaño mxn que tiene como j-ésimo renglón al vector
                                                   (a¹ⱼ, a²ⱼ,...,aⁿⱼ).

Como vimos en clase, cuando todavía había clase, para la matriz A=[a b; c d], el determinante es el número
                                               det(A)=ac-bd
y nos dice en particular si la matriz es invertible (cuando det(A)≠0) o no. La pregunta es ¿cómo se define el determinante en general?. Lo primero que hay que decir es que el determinante solo tiene sentido para matrices cuadradas (nxn) y se puede definir de forma recursiva (o sea, usando el determinante para matrices (n-1)x(n-1) para definir el determinante de una matriz nxn). Así, para
                                     A=[a¹₁ a²₁ ⋯ aⁿ₁;a¹₂ a²₂ ⋯ aⁿ₂; ⋯ ;a¹ₙ a²ₙ ⋯ aⁿₙ]
tenemos
                           det(A)=a¹₁ det(A¹₁) - a²₁ det(A²₁) + ⋯ + (-1)ⁿ aⁿₙ det(Aⁿₙ).
Hay varias cosas que explicar. La primera, ¿qué quiere decir Aⁱⱼ? Bueno, Aⁱⱼ es la submatriz de A, de tamaño (n-1)x(n-1), que se obtiene al eliminar de A el renglón i y la columna j. Así
                                        A²₁=[a¹₂ a³₂ ⋯ aⁿ₂;a¹₃ a³₃ ⋯ aⁿ₃; ⋯ ;a¹ₙ a³ₙ ⋯ aⁿₙ]
La suma que se usa para definir el determinante es una suma alternante, esto es, los signos van alternando +, -, +, -, ... El signo del último sumando depende de la dimensión. Si la dimensión es par, el signo es +, si no es -. Esto se logra anotar en la fórmula con el (-1)ⁿ. De hecho, una forma abreviada de la fórmula del determinante, usando la notación de sumatoria, es
                                       det(A)=∑ (-1)¹⁺ˢ a¹ₛ det(A¹ₛ)
sumando para s=1 hasta s=n. Entonces, para calcular determinantes de matrices nxn necesitamos saber calcular determinantes de matrices (n-1)x(n-1) y para esto necesitamos calcular determinantes de matrices (n-2)x(n-2), y así hasta que llegamos a 2x2, para los cuales ya tenemos una fórmula explícita. De hecho la fórmula recursiva también funciona para 2x2, si aceptamos que el determinante de una matrix 1x1, que es un número, es le número mismo. Así por ejemplo
                               det([a b; c d])=a det(d) - c det(b) = ad-bc.
 Para matrices 3 x 3 tenemos
      det([a b c; d e f; g h i])=a det([e f; h i]) - b det([d f; g i]) + c det([d e; g h])
                                          =a (e i - f h) - b (d i - f g) + c (d h - e g)
                                          =a e i + b f g + c d h - g e c - h f a - i d b
La última expresión corresponde a sumar productos sobre diagonales y restar productos sobre antidiagonales de la matriz rectangular que se obtiene a repetir las dos primeras columnas de A. Esto de sumar productos sobre diagonales y restar productos sobre antidiagonales luce bien y da bonitas expresiones, pero tiene la desventaja que solo funciona en matrices 2x2 y 3x3.

Ejemplo
Hagamos un ejemplo explícito. Sea A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9], entonces
                 det(A)=(5x9-6x8)-2x(4x9-6x7)+3x(4x8-5x7)
                           =1x5x9+2x6x7+3x4x8-7x5x3-8x6x1-9x4x2
                           =45+84+96-105-48-72=225-225=0
Esto refleja el hecho de que A no es invertible. Para esto baste notar que
                 A*[1; -2; 1]=[0; 0; 0]
Aquí estamos multiplicando la matriz A por un vector columna diferente de cero y el resultado es el vector cero, lo que prueba que A no es invertible.

Propiedades del determinante

Todas las propiedades que vimos se demuestran de forma inductiva sobre la dimensión. Esto quiere decir que la propiedad es válida para matrices de dimensión nxn siempre que lo sea para matrices de dimensión (n-1)x(n-1). Se verifica que la propiedad es válida en matrices 2x2, y eso completa la prueba por inducción. 

Las propiedades que establecimos de esta manera son:

1. Si B se obtiene de A al multiplicar el i-ésimo renglón por una constante 𝜆, entonces det(B)=𝜆 det(A).
2. Si B se obtiene de A al sumarle al i-ésimo renglón de A su k-ésimo renglón multiplicado por 𝜆, entonces det(B)=det(A).
3. Si A tiene dos renglones iguales, entonces det(A)=0.
4. Si B se obtiene de A al permutar el renglón i por el renglón k, entonces det(B)=-det(A).

En las propiedades 1, 2 y 4 la matriz B se obtiene de la matriz A por medio de una operación elemental y estas tres propiedades pueden resumirse en la ecuación   

det(EA)=n(E)det(A)

donde E es una matriz codificando una operación elemental y

•     n(E)=𝜆 si la operación es multiplicar un renglón por 𝜆,
•     n(E)=1 si la operación es sumar a un renglón 𝜆 veces otro renglón,
•     n(E)=-1 si la operación es intercambiar dos renglones.

Sabemos que toda matriz se puede factorizar así:

A=E₁ E₂⋯Eₗ A₀,

donde Eₗ son matrices que codifican operaciones elementales por renglón, y A₀

es una matriz escalonada reducida. Hemos visto que en el caso en que A es invertible, A₀ es la identidad Id, y entonces det(A₀)=det(Id)=1. En el caso no invertible el último reglón de A₀ tiene solamente ceros y por lo tanto det(A₀)=0.

Con esto

det(A)=n(E₁) n(E₂) ⋯ n(Eₗ)

en el caso en que A es invertible, o bien det(A)=0 en el caso no invertible.

Esta factorización nos permitió demostrar fácilmente que 

det(AB)=det(A) det(B). 

 

Liga a los videos de las clases

Si quieren repasar las clases  donde vimos estos temas, aquí están las ligas.

 

Introducción al determinante el 20 de mayo:

https://www.dropbox.com/s/kj9ku0zs3h8n9ac/ClaseAlgebraLineal05-20.mp4?dl=0

 

Definición usando permutaciones de índices el 24 de mayo:

https://www.dropbox.com/s/n2qeiog9kwpce5j/ClaseAlgebraLineal05-24.mp4?dl=0

 

Propiedades del determinante el 31 de mayo:

 https://www.dropbox.com/s/t1vhnpcqe6uyy2s/ClaseAlgebraLineal05-31.mp4?dl=0

Continuación de propiedades del determinante el 1 de junio:

https://www.dropbox.com/s/2jvbi95f5vy9yws/ClaseAlgebraLineal06-01.mp4?dl=0

Aplicaciones del determinante el 3 de junio:

https://www.dropbox.com/s/ktesp475rxzt1is/ClaseAlgebraLineal06-03.mp4?dl=0