Algebra Lineal 2021

El determinante Antes que nada y para facilitar la lectura, voy a introducir la siguiente notación que se usa para escribir instrucciones en Octave. Octave, Scilab y Matlab son plataformas informáticas que se usan para hacer cálculos con matrices. Los invito a que experimenten un poco con alguna de ellas. Yo prefiero Octave porque es de gratuita y de código abierto. La alternativa europea a Octave es Scilab. También la recomiendo mucho. Con la notación A=[a b; c d] denotamos al matriz que tiene como primer renglón al vector (a, b) y como segundo renglón al vector (b, c). En general usaremos la notación                                      A=[a¹₁ a²₁ ⋯ aⁿ₁;a¹₂ a²₂ ⋯ aⁿ₂; ⋯ ;a¹ₘ a²ₘ ⋯ aⁿₘ] para la matriz de tamaño mxn que tiene como j-ésimo renglón al vector      ...

Definiciones, explicaciones y ejemplos Bases Una base para el espacio vectorial V es una colección de vectores B=(v₁,v₂,...,vₙ), tales que: 1) Cualquier vector v∈V puede escribirse como una combinación lineal de los vectores en B, es decir, existen escalares a₁,a₂,...,aₙ tales que v=a₁v₁+a₂v₂+⋯+aₙvₙ. 2) La combinación lineal v=a₁v₁+a₂v₂+⋯+aₙvₙ que define a un vector es única, es decir, que no existe otra colección b₁,b₂,...,bₙ tal que v=b₁v₁+b₂v₂+⋯+bₙvₙ. Es conveniente darle un orden a los elementos de B porque de esta forma podemos fácilmente codificar un vector dando solamente la lista ordenada de coeficientes que lo definen en la base en cuestión. Así, cuando v=a₁v₁+a₂v₂+⋯+aₙvₙ, entonces v en la base B se representa por la n-ada ordenada v B =(a₁,a₂,...,aₙ). La condición 2) en la definición de base que dimos arriba se conoce como independencia lineal. Es equivalente a lo siguiente: La única forma en que una colección de escalares c₁,c₂,...,cₙ hagan que c₁v₁+c₂v₂+⋯+cₙvₙ=0, ...

Resumen Durante las últimas clases hemos estado revisando las nociones de espacio vectorial, transformación lineal y cómo representar matricialmente una transformación lineal dada una base para el espacio vectorial. Aquí están las ligas los videos de estas clases agrupados por temas.   Espacios vectoriales y transformaciones lineales en Rⁿ 12 de abril https://www.dropbox.com/s/aq88tfcbjqttunv/ClaseAlgebraLineal04-12.mp4?dl=0 13 de abril https://www.dropbox.com/s/lmcs3j5r6gsbchk/ClaseAlgebraLineal04-13.mp4?dl=0 15 de abril https://www.dropbox.com/s/0591ij6r0nxt3bf/ClaseAlgebraLineal04-15.mp4?dl=0 Espacios vectoriales en general  19 de abril https://www.dropbox.com/s/u35kflsm5urp27h/ClaseAlgebraLineal04-19.mp4?dl=0 20 de abril https://www.dropbox.com/s/sjafnk9gugbua30/ClaseAlgebraLineal04-20.mp4?dl=0 Transformaciones lineales en general 22 de abril https://www.dropbox.com/s/irm0arp7y8ro7sx/ClaseAlgebraLineal04-22.mp4?dl=0 26 de abril https://www.dropbox.com/s/6cstlxy4jlx56sn/Cla...

Resumen de la quincena Las dos últimas semanas continuamos viendo eliminación Gaussiana y aprendimos a asociar matrices elementales a las operaciones elementales sobre renglones. Con esto podemos llevar a cabo la eliminación Gaussiana multiplicando por la izquierda a la matriz extendida por una matriz invertible. Esta matriz invertible es el producto de las matrices que representan las operaciones elementales. La forma escalonada reducida es la identidad si y solo si la matriz es invertible. Se puede usar la reducción Gaussiana para llevar una matriz a una forma triangular superior. La matrices elementales son en este caso triangulares inferiores y su producto es una matriz triangular inferior invertible, pues las elementales son invertibles. La inversa de una triangular inferior es del mismo tipo.   La factorización de este tipo más general involucra matrices elementales que son permutaciones y matrices diangonales. Estas son las ligas a las clases donde se explica todo esto. ...

Resumen de la semana La semana del 22 al 26 de febrero revisamos algunos problemas del primer capítulo y empezamos a ver la solución de sistemas de ecuaciones por el método de eliminación Gaussiana.  En en el método de eliminación Gaussiana, un sistema de ecuaciones se resume en una matriz que solo retiene los coeficientes y constantes de las ecuaciones. Sobre esa matriz se llevan a cabo operaciones elementales que representan operaciones en las ecuaciones originales que respetan las igualdades originales. Todos estos procedimientos están bien explicados en el libro de referencia, pero de cualquier forma en la próxima entrada del blog haré un resumen del método y presentaré un par de ejemplos. Por lo pronto aquí están las ligas a los videos de las clases de la semana en cuestión, por si quieren repasar los temas.   Clase del lunes 22 de febrero https://www.dropbox.com/s/g12n64a5q233sg3/ClaseAlgebraLineal02-22.mp4?dl=0 Clase del martes 23 de febrero https://www.dropbox.com/s/x0...

Matrices y Álgebra Lineal Vamos a seguir el texto del curso que pueden descargar aquí   https://drive.google.com/open?id=1TtemnxZRopfvBEhTxNvgV-4c5x4hPlCX Iré publicando instrucciones y material de lectura con las fechas de entrega correspondientes. Primera semana Deben leer todo el capítulo 1 del libro y tratar de resolver los problemas. Los días de clase voy a responder algunas preguntas sobre esta lectura y el jueves resolveré los problemas en el pizarrón.  En el capítulo 1 se hace una revisión general de los conceptos básicos en álgebra lineal, por ejemplo: ¿qué es un vector? ¿qué es una transformación lineal? ¿qué es una matriz?  Segunda semana y tercera semana Vamos a estudiar sistemas de ecuaciones y su solución por el método de eleminación de Gauss. Esto es el contenido del capítulo 2 del libro de referencia. Ahí también revisaremos la forma en que la solución de un sistema de ecuaciones genera la inversa de una matriz.  Cuarta semana La...